武将がn秒後に号令を出す確率

今回は昔「どむのホームページ」で公開しようとしてた記事の「もと」の原稿を紹介しようと思います。昔書いたことに少し手を加え、説明（っぽく）しています。

 

やってることは中学数学の範囲（？）だと思いますが、高校2年生程度の数学の知識があるとわかりやすいと思います。

 

【予備知識　※ざっくりとした知識。定義は授業でやって＾＾】

・数列とは、何番目に何の数があるか示した、数字の列である。数列に名前（例：数列A）をつけられる。

・A(n)とは、数列Aのn番目にくる値。ここではA(n)＝［A連武将がn秒に号令を出す確率］として考えている。

・漸化式（ぜんかしき）とは、数列Aの規則を示した式。数列の前後関係が分かる式。漸化式によって全てのnに対するn番目のA(n)の値を求めることができる。

・漸化式を解くとは、漸化式からA(n)をnの式で表す作業を行うこと。漸化式が解けるとは限らない。漸化式が解けなくても、前後関係から（根性で1つずつ）すべてのA(n)を求めることができる。

・初期条件とは、数列Aのはじめの数個のこと。はじめの数個を与えることで、すべてのA(n)をもとめることができる。

 

目標：A連武将がn秒に号令を出す確率を求める

まず、黒い星★と、白い星☆を用いて出た号令が2種類あることに着目する。

A級（A）武将の号令
・・・★・・・★・・・★・・・★・・

A級連発（A連）武将の号令
・・・★・・・★☆・・・★・・・★☆・・

連発を持つ号令は★(1回のみ)か★☆(2回続けて)で発動し、★☆☆(3回続けて)などのパターンはない。

次に、pさんの調査で、
★連発が起こらない(1回のみ)パターン：60%
★☆連発が起こる(2回続けて)パターン：40%
ということがわかっている。

 

このことをふまえると、例えばA連武将だったら
★のあと、60%の確率で4秒後に★……①
★のあと、40%の確率で1秒後に☆……②
☆の4秒後に★……③
の3つがいえる。

これを考え、n(秒)を開始からの秒数とすると、
[n+4秒後の号令発動確率]
＝[n+4秒後の★発動確率]+[n+4秒後の☆発動確率]
＝[①+③]+[②]
＝[0.6×(n秒後の★発動確率)+(n秒後の☆発動確率)]+[0.4×(n+3秒後の★発動確率)]…式1
となる。

 

さらに、連発の定義式
(n+1秒後の☆発動確率)＝0.4×(n秒後の★発動確率)……式2
もたてられる。

 

式1と式2から、n秒後の号令発動確率を求めることができる。

n秒後の★発動確率をX(n)
n秒後の☆発動確率をY(n)
とすると式1より
X(n+4)+Y(n+4)＝0.6・X(n)+Y(n)+0.4・X(n+3)
になる。また式2より
Y(n+1)=0.4・X(n)
2つの式より
X(n+4)+0.4・X(n+3)＝0.6・X(n)+ 0.4・X(n－1)+0.4・X(n+3)
X(n+4)＝0.6・X(n)+ 0.4・X(n－1)
5・X(n+5)＝3・X(n+1)+2・X(n)……式3
のような漸化式が導ける。

 

初期条件は、★発動確率をX(n)とおいたことに注意して
X(1,2,3,4,5)=(0,0,0,1,0)……式4

 

求めたいn秒後の号令発動確率A(n)＝X(n)+Y(n)である。
式2よりY(n+1)=0.4・X(n)なので求めたい確率は
A(n)＝X(n)+0.4・X(n-1)……式5

 

式3・式4・式5より、A(n)を任意の秒数で求めることができる。漸化式を解くことができれば解いてください。私は解けないので、Excelでじゃばら式に答えを出して利用しています。nが180までなので、手で計算しても悪くないでしょう。（n=100あたりまでで、A(n)は0.318程度に収束することが予想できます。）

同様に、B連・C連・D連・・・の号令発生確率B(n)・C(n)・D(n)・・・も求めることができます。

 

【お詫び】

被対戦陣形の作り方「中級編・上級編」と鉄見モンスターズ計画

の記事、続編を後日考える予定です（作るとは言ってない）